Questão 8

IME 2014

Matemática

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

O número de soluções da equação no intervalo [0,2) é;

Gabarito:

Resolução:

$cos(8x)=sen(2x)+tg^2x+cotg^2x$

$cos(8x)+2=sen(2x)+tg^2x+1+cotg^2x+1$

$cos(8x)+2=sen(2x)+sec^2x+cossec^2x$

$cos(8x)+2=sen(2x)+frac{1}{cos^2x}+frac{1}{sen^2x}$

$cos(8x)+2=sen(2x)+frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x*sen^2x}$

$cos(8x)+2=sen(2x)+frac{1}{cos^2x*sen^2x}$

$cos(8x)+2=sen(2x)+frac{4}{sen^2(2x)}$

Analisando, vemos que os valores máximos e mínimos de cos(8x) e sen(2x) são 1 e -1. E sen²(2x) varia entre 0 e 1.

Logo, o lado esquerdo da equação vale, no máximo, 3. Logo, do lado direito com o sen(2x) valendo no mínimo -1, o sen²(2x) tem que ser igual a 1. Se sen²(2x) for menor que 1, a fração fica maior que 4 e a igualdade não pode ser satisfeita.

$sen^2(2x)=1$

$sen(2x)=pm 1$

Mas note que sen(2x) tem que ser -1 senão sua soma com a fração dará maior que 3, logo:

$sen(2x)=-1$

$2x=frac{k pi}{2} , k=3,7,11,15...$

$x=frac{3 pi}{4},frac{7 pi}{4}$

(soluções de [0,2)

A condição do lado direito igual a 3 impõe que cos(8x) seja igual a 1:

$cos(8x)=1$

$8x=k2 pi,k=1,3,5,7,9...$

$x=frac{ pi}{4},frac{3 pi}{4},frac{5 pi}{4},frac{7 pi}{4}$

(soluções de [0,2)

Então os valores de x que satisfazem ambas as equações são:

$x=frac{3 pi}{4}; e; frac{7 pi}{4}$

Portanto, são duas soluções!

Questão 8

IME 2014

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