Questão 4

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Seja $n$ um inteiro positivo cuja representação decimal é $a_ m...a_1a_0$ e $f$ a função que troca a posição dos dígitos $a_{2i}$ e $a_{2i+1}$ , de forma que $f (a_ {2k+1}a_ {2k}...a_1a_0)=a_{2k}a_{2k+1}...a_0a_1$ . Por exemplo:

$f(123456) = 214365$

$f(1034) = 143$

$f(123) = 1032$

$f(10) = 1$

Determine o menor número maior que 99 que satisfaça à equação

$x^2 = 9x+ 9f(x)+ (f(x))^2$

Gabarito:

Resolução:

A equação pedida é:

$x^2 = 9x + 9f(x)+(f(x))^2$

$9x + 9f(x)+(f(x))^2-x^2=0$

$9 (x+f(x))+(f(x))^2-x^2=0$

$9 (x+f(x))+(f(x)+x)(f(x)-x)=0$

$(x+f(x))(9+(f(x)-x)=0$

Como $(x+f(x))>0$ , temos que:

$9 + f(x)-x=0$

$x-f(x)=9$

Procuramos um número de pelo menos três digitos de forma que:

ABC - A0CB = 9

Sendo A, B e C os algarismos do número. Notamos que como ABC tem 3 algarismos isto é impossível, resta testar com 4 algarismos, de forma que:

ABCD - BADC = 9

Para que o resultado desta subtração seja um algarismo, BA = AB, o que implica A = B. E como queremos o menor possível, A = 1 e B = 1

Resta CD - DC = 9, onde temos algumas opções como 10 - 01 =9, 21 - 12 = 9, 32 - 23 = 9, porém como queremos a menor, C = 1 e D = 0. Logo, o número é 1110.

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