Questão 8

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

De quantas maneiras podemos decompor um eneágono convexo em triângulos traçando suas diagonais, de forma que essas diagonais não se cortem?

Gabarito:

Resolução:

Seja $T_{n}$ o número de maneiras de triangularizar um polígono convexo de n lados.

Temos que:

Lado P1P2 formando triângulo com vértice P3: $T_{n-1}$ possibilidades.
Lado P1P2 formando triângulo com vértice P4: T3 . $T_{n-2}$ possibilidades.
Lado P1P2 formando triângulo com vértice P5: T4 . $T_{n-1}$ possibilidades.

...

Lado P1P2 formando triângulo com vértice $P_{n}$ : $T_{n-1}$ possibilidades.

Portanto: $T_{n}=T_{n-1}+T_{3}.T_{n-2}+T_{4}.T_{n-3}+...T_{n-3}.T_{4}+T_{n-2}.T_{3}+T_{n-L}$

Mas essa é a recorrência dos números de Catalão, ou seja,

$T_{n}=C_{n-2},$ $forall n=3$

Portanto,

$T_{9}=C_{7}=frac{1}{8}. (frac{14}{7})=429$

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