Questão 1

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação:

$frac{4}{log_{3}x^{2}-2}+log_{x}frac{1}{9}> 1$

Gabarito:

Resolução:

$frac{4}{log_3x^2-2}+log_xfrac{1}{9}>1$

$frac{4}{2log_3x-2}+log_x3^{-2}>1$

$frac{4}{2log_3x-2}+-2log_x3>1$

Aplicando a mudança de base:

$frac{4}{2log_3x-2}+frac{-2}{log_3x}>1$

Chamamos $log_3x=k$

$frac{4}{2k-2}-frac{2}{k}>1$

$frac{4k-2(2k-2)}{(2k-2)k}>1$

$frac{4k-4k+4}{2(k-1)k}>1$

$frac{4}{2(k-1)k}>1$

$frac{2}{(k-1)k}>1$

$frac{2}{(k-1)k}-1>0$

$frac{2-k^2+k}{(k-1)k}>0$

Podemos encontrar as raizes do numerador para fatorar o polinômio.

$frac{-(k+1)(k-2)}{(k-1)k}>0$

Podemos realizar o estudo de sinais e encontrar que o intervalo é verdadeiro para:

$-1 < k < 0$ e $1 < k < 2$

Substituindo K:

$-1 < log_3x < 0$

$3^{-1} < x < 3^0$

$frac{1}{3} < x < 1$

E também:

${1} < log_3x < 2$

$3^1 < x < 3^2$

$3 < x < 9$

Logo o intervalo solução é:

$(1,2)cup (3,9)$

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