Questão 2

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Encontre as soluções reais da equação:

$sqrt{x+sqrt{4x-4}}+sqrt{x-sqrt{4x-4}}=sqrt{x+3}$

Gabarito:

Resolução:

$sqrt{x+sqrt{4x-4}}+sqrt{x-sqrt{4x-4}}=sqrt{x+3}$

Colocamos o 4 em evidência:

$sqrt{x+sqrt{4(x-1)}} + sqrt{x - sqrt{4(x-1)}} = sqrt{x+3}$

$sqrt{x+2sqrt{(x-1)}} + sqrt{x - 2sqrt{(x-1)}} = sqrt{x+3}$

Podemos chamar (x-1) de y, tal que y = x -1 :

$sqrt{y +1 +2sqrt{y}} + sqrt{y+1-2sqrt{y}} = sqrt{y+4}$

Elevamos os dois lados da equação ao quadrado:

$(sqrt{y +1 +2sqrt{y}})^{2} + 2 sqrt{y+1-2sqrt{y}} cdotsqrt{y +1 +2sqrt{y}}+ (sqrt{y+1-2sqrt{y}})^{2} = (sqrt{y+4})^{2}$

$a+1 + 2sqrt{y} + 2 sqrt{(y+1)^{2} -4y} + y + 1 - 2sqrt{y} = y +4$

$2sqrt{(y+1)^{2} -4y} = -y +2$

Elevando novamente ao quadrado:

$(2sqrt{(y+1)^{2} -4y})^{2} = (-y +2)^{2}$

$4[(y+1)^{2} - 4y] = 4 - 4y + y^{2}$

$4[(y^{2} + 2y +1) -4y] = y^{2} -4y + 4$

$4y^{2} - 8y + 4 = y^{2} -4y + 4$

$3y^{2} -4y = 0$

$y(3y -4) = 0$

Portanto, y = 0 ou 3y - 4 = 0

Se y = 0:

$x-1 = 0 Rightarrow x = 1$

Se 3y - 4 = 0:

$3(x-1) = 4 Rightarrow x= frac{7}{3}$

Assim, as soluções são 1 e 7/3.

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