Questão 6

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Pelo ponto P de coordenadas (-1,0) traçam-se as tangentes t e s à parábola y² = 2x. A reta t intercepta a parábola em A e a reta s intercepta a parábola em B. Pelos pontos A e B traçam-se paralelas às tangentes encontrando a parábola em outros pontos C e D, respectivamente. Calcule o valor da razão AB/CD.

Gabarito:

Resolução:

Observe o diagrama da parábola:

As tangentes à parábola e que passam pelo ponto (-1, 0) podem ser equacionadas:

$y-0 = m (x-(-1))$

$y = m(x+1)$

Interceptando com a parábola:

$y^{2} = 2x$

$y = m(x+1)$

Resolvendo:

$[m(x+1)]^{2} = 2x$

$2(m^{2}-1)x + m^{2} + m^{2}x^{2} = 0$

Sabemos que para que exista condição de tangência o discriminante dessa equação do segundo grau deve ser igual a zero.

$Delta = 0$

$2^{2}(m^{2}-1)^{2} - 4m^{2}m^{2} = 0$

$m = pm frac{sqrt{2}}{2}$

Assim:

$frac{1}{2}x^{2} + 2 cdot (frac{1}{2}-1)cdot x + frac{1}{2} = 0$

$x^{2} - 2x + 1 = 0$

$oxed {x=1}$

Portanto, a abscissa dos pontos A e B é 1. Tal que:

$y^{2} = 2 cdot 1 Rightarrow y = pm sqrt{2}$

Dessa forma, os pontos A e B são, respectivamente, $(1,sqrt{2}) B = (1, -sqrt{2})$

q é a reta paralela à s pelo ponto A. Por paralelismo, seus coeficientes angulares precisam ser idênticos, tal que:

$m_{q} = m_{s} = - frac{1}{sqrt{2}}$

Assim, a equação de q é:

$y - y_{A} = m_{q} (x-x_{A})$

$y - sqrt{2} = -frac{1}{sqrt{2}} (x-1)$

Calculando, novamente, a intersecção entre q e a parábola:

$x = frac{y^{2}}{2}$

$sqrt{2}y -2 = 1-x$

$Rightarrow sqrt{2}y - 2 = 1 - frac{y^{2}}{2}$

$y^{2}+2sqrt{2}y - 6 = 0$

$y = sqrt{2} ou y = -3sqrt{2}$

Sendo $y = sqrt{2}$ o y do ponto A, o y do ponto C deve ser $-3sqrt{2}$

Assim, o ponto D deve ter um y igual a $3sqrt{2}$

Por fim:

$frac{AB}{CD} = frac{y_{A} - y_{B}}{y_{D} - y_{C}} = frac{2sqrt{2}}{6sqrt{2}}$

$frac{AB}{CD} = frac{1}{3}$

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