Questão 10

IME 2014

Matemática

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Sejam r a circunferência que passa pelos pontos (6, 7), (4,1) e (8, 5) e t a reta tangente à r, que passa por (0, -1) e o ponto de tangência tem ordenada 5. A menor distância do ponto P(-1, 4) à reta t é:

A

B

4

C

D

3

E

Gabarito:

Resolução:

Considere o centro da circunferência $O (x_{0}, y_{0})$ . A distância dos pontos da circunferência até seu centro são iguais, pois medem o valor do raio. Assim, podemos substituir os pontos fornecidos pelo enunciado e aplicá-los na circunferência para poder criar igualdades:

$(x_{0} - 6)^{2} + (y_{0} - 7)^{2} = (x_{0} -4)^{2} + (y_{0} -1)^{2}$

$(x_{0} -6)^{2} + (y_{0}-7)^{2} = (x_{0} - 8)^{2} + (y_{0} -5)^{2}$

Resolvendo:

$-12x_{0} + 36 - 14y_{0} + 49 = -2y_{0}+ 1 + 16 - 8x_{0}$

$-12x_{0} +36 -14y_{0} + 49 = -10 y_{0} + 25 + 64 - 16x_{0}$

Resolvendo esse sistema obtém-se:

$x_{0} = 5$

$y_{0} = 4$

Portanto, o centro da circunferência é o ponto (5,4) e o raio pode ser obtido pela equação:

$r = sqrt{(5-6)^{2} + (4-7)^{2}}$

$r = sqrt{10}$

E a equação da circunferência r é:

$(x-5)^{2} +(y-4)^{2} = 10$

Se tomarmos a ordenada dos pontos de tangência como 5, obtemos facilmente as abscissas desses pontos:

$(x-5)^{2} + (5-4)^{2} =1 0$

$x = 8 ou x = 2$

A reta que passa pelos pontos (8,5) e (0, -1) é $-4y +3x - 1 = 0$

A distância dessa reta até o centro (5,4) é:

$d_{1} = frac{|3 cdot 5 - 4 cdot 4 - 1}{sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$

$d_{1} = frac{2}{5}$

Como essa distância é menor que o raio, a reta é secante à circunferência e não nos interessa.

Adotando o outro valor de x possível e resolvendo o cálculo análogo. Pontos: (2,5) e (0,-1).

Reta que passa pelos dois: $-y +3x -1 = 0$

Distância do centro à reta:

$d_{2} = frac{|3 cdot 5 - 4 -1|}{sqrt{3^{2} +1}} = sqrt{10}$

Ora, como essa distância é exatamente igual ao raio, a reta será tangente.

Calculando, assim, a menor distância entre o ponto P(-1,4) e a reta $-y +3x -1 = 0$ :

$d_3 = frac{|3 cdot (-1) - 1 cdot 4 - 1|}{sqrt{3^{2} + 1^{2}}}$

$oxed {d_{3} = frac{4sqrt{10}}{5}}$

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