Questão 2

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras. Pode-se afirmar que:

0 ≤ k < 2

2 ≤ k < 4

4 ≤ k < 6

6 ≤ k < 8

k ≥ 8

Gabarito:

6 ≤ k < 8

Resolução:

Resolvendo $frac{x^2-2x-14}{x}> 3$ :

$frac{x^2-2x-14}{x}-3>0$

$frac{x^2-2x-14}{x}-frac{3x}{x}>0$

$frac{x^2-5x-14}{x}>0$

Fatorando:

$frac{left(x+2 ight)left(x-7 ight)}{x}>0$

Observando para os sinais:

Observando para os sinais, percebemos que os intervalos que correspondem a condição solicitada são:

$-2<x<0quad mathrm{ou}quad :x>7$

Temos também uma segunda condição:

$xleq 12$

Logo, temos que as soluções inteiras são:

-1, 8, 9, 10, 11 e 12

Logo k=6

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