Questão 1440

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Sejam Z₁ e Z₂ números complexos tais que Z₂ é imaginário puro e |Z₁-Z₂|=|Z₂|. Para quaisquer valores de Z₁ e Z₂ que atendam a essas condições tem-se que:

Im(Z₂) > 0

Im(Z₂) ≤ 0

|Z₁| ≤ 2 |Z₂|

Re(Z₁) ≥ 0

Re(Z₁) ≤ Im(Z₂)

Gabarito: |Z₁| ≤ 2 |Z₂|

Resolução:

$Z_{1} = left(x + yi ight )$

$Z_{2} = left(bi ight )$

Se $left | Z_{1} - Z_{2} ight | = left | Z_{2} ight |$

$sqrt{x^{2}+left(y-b ight )^{2}} = sqrt{b^{2}}$

Logo, $Z_{1}$ encontra-se na circunferência de equação:

$x^{2} + left(y-b ight )^{2} = b^{2}$

Dessa forma, temos que

Z1 sempre passa pela origem, Z1 = 0 vai ser solução. Z1 também passa pelo ponto Z1 = 2bi, o ponto mais afastado da origem.

Dessa forma:

$left | Z_{1} ight | leq 2left | Z_{2} ight |$

|z1|≤2|z2|

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