Questão 2

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE)

Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x-1 é 1431, então a sua representação na base binária é:

10001111

11011011

11100111

11011110

11110001

Gabarito:

11110001

Resolução:

Lembrando que determinado número N em uma base b pode ser representado como:

$N_{b} = a_{0} .b^{n}+ a_{1}.b^{n-1}+...+an.b^{0}$

Temos então que:

$1041_{x} = 1.x^{3}+0.x^{2}+4.x+1$

$1041_{x} = x^{3}+4x+1$

$1431_{x-1} = 1.left(x-1 ight)^{3}+ 4.left(x-1 ight )^{2}+3.left(x-1 ight )+1$

$1431_{x-1} = x^3-3x^2 +3x -1 +4x^2 - 8x + 4 + 3x -3 + 1$

$1431_{x-1} = x^3 + x^{2} - 2x + 1$

Igualando as duas equações:

$x^{3}+4x +1 = x^3 + x^{2}-2x + 1$

$x^{2} - 6x = 0$

$xleft( x - 6 ight) = 0$

$x = 0; 6$

Como queremos um número na base binária, x > 2

Então temos que:

$1041_{6} = 6^{3}+4.6 + 1 = 241$

Dividindo esse número sucessivamente por 2, cada resto da divisão sera o algarismo correspondente no número binário.

Dessa forma:

$11110001_{2}$

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