Questão 4

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Seja a inequação:

$6x^4 - 5x^3 - 29x^2 + 10x < 0$

Seja (a,b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para $b-a$ é:

$frac{13}{6}$

$frac{1}{3}$

$frac{5}{2}$

$frac{8}{3}$

Gabarito:

$frac{13}{6}$

Resolução:

$6x^{4}+5x^{3}+29x^{2}+10x < 0 = x cdot (6x^{3}-5x^{2}- 29x + 10)<0$

Chamando $p(x)=6x^{3}-5x^{2}- 29x + 10$

$p(0)=10$

$p(1)=6-5-29+10 = 18$

$p(-1)=-6-5+29+10 = 28$

$p(2)=6cdot 8 - 5 cdot 4 - 29cdot 2 + 10 = -20$

$p(-2)=6cdot (-8) - 5 cdot 4 - 29cdot (-2) + 10 = 0$

logo x = -2 é raíz

Priot-Ruffini:

$p(x)=(6x^{2}-17x+5)cdot(x+2)x$ , chamando $q(x)=6x^{2}-17x+5:$

$Delta = 17^{2}-4cdot5 = 289 - 120 = 169$

$x = frac{5}{2}$ ou $frac{1}{3}$

Logo, $6x^{4}-5x^{3}-29x^{2}+10 = x cdot (x+2)cdot q(x) = x cdot (x+2) cdot (x - frac{5}{2}) cdot (x - frac{1}{3})$

$p(x)=x cdot(x+2)cdot(x- frac{5}{2})cdot (x-frac{1}{3})<0:$

I) Se $x > 0: x - frac{5}{2}>0 => x > frac{5}{2}=> p(x) > 0$ Não

II) Se $x > 0: x - frac{5}{2}<0 => x <frac{5}{2}=>x + frac{1}{3}>0 => frac{1}{3}<x<frac{5}{2} => P(x)<0$ Sim

III) Se $x < 0 : x+2 > 0> 0 => x > -2: (x-frac{5}{2})cdot(x-frac{1}{3})>0 => x<frac{1}{3}=> -2 < x < 0 -> P(x)< 0$ Sim

Logo, conjunto solução: $x in ]-2, Osubset U] frac{1}{3},frac{5}{2}[$

Com $frac{5}{2}-frac{1}{3}= frac{15-2}{6} = frac{13}{6}> 2$ então b-a_máx = $frac{13}{6}$

Resposta B

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