Questão 10

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

O número de soluções reais da equação abaixo é:

$(cos(x))^{2018} = 2 - 2^{(x/pi)^2}$

Gabarito:

Resolução:

Vejamos o intervalo de validade da equação:

$cosx^{2018}= 2-2^{(frac{x}{pi})^{2}}$

$0 leqslant cosx leqslant 1=> 0 leqslant (cosx)^{2018}leqslant 1$

$0 leqslant 2-2^{(frac{x}{pi})^{2}} leqslant 1 => -2 leqslant -2^{(frac{x}{pi})^{2}}leqslant -1$

$1 leqslant 2^{(frac{x}{pi})^{2}} leqslant 2 => 0 leqslant (frac{x}{pi})^{2} leqslant 1 => (frac{x}{pi})^{2} leqslant 1 => x in [-pi;pi]$

Por inspeção, vê-se que x = 0 é solução.
Esboçando - se o gráfico, temos o seguinte:

O gráfico tracejado marca a função (cos(x))²⁰¹⁸.

A linha azul marca a função $2-2^{(frac{x}{pi})^{2}}$

A Linha tracejada horizontal indica a reta y =1.

Assim vemos que há 3 soluções, e uma delas é o zero como já tínhamos descoberto.

Resposta D

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