Questão 9

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio 𝑅. São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a saber: 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Seja 𝑟 o raio do círculo inscrito ao triângulo 𝐴𝐵𝐶. Qual a probabilidade de que $r=frac{R}{2}$ ?

$frac{1}{10}$

$frac{3}{5}$

$frac{1}{20}$

$frac{1}{6}$

Gabarito:

$frac{1}{10}$

Resolução:

Por inspeção, verificamos que o triângulo abaixo (A, B e C) é o triângulo tal que r = R/2 (* $sen 30^{circ}=frac{r}{R} => r = frac{R}{2}$ )

A quantidade de triângulos diferentes [diferentes vértices] que satisfazem $r = frac{R}{2}$ é 2: ABC e A'B'C', logo n = 2
A quantidade total de triângulo é $C_{6,3} = frac{6!}{3!3!} = 20$ , ou seja, N = 2
Portanto, a probabilidade de $r = frac{R}{2}$ é:

$P = frac{n}{N}=frac{2}{20}=frac{1}{10}$

Resposta B

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