Questão 11

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos Â, B̂ e Ĉ, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

2sen(Â + Ĉ) = sen(Â) + sen(Ĉ)

2cos(Â + Ĉ) = cos(Â) + cos(Ĉ)

2sen(Â − Ĉ) = sen(Â) − sen(Ĉ)

2cos(Â − Ĉ) = cos(Â) − cos(Ĉ)

2cos(Â + Ĉ) = sen(Â) + sen(Ĉ)

Gabarito:

2sen(Â + Ĉ) = sen(Â) + sen(Ĉ)

Resolução:

$frac{sen(hat{B})}{sen(hat{A})}= frac{a+r}{a}=1+frac{r}{a}=> frac{r}{a}=frac{sen {hat{B}}}{sen{hat{A}}}-1$

$frac{sen(hat{C})}{sen(hat{B})}= frac{a+2r}{a+r}$

$frac{sen(hat{C})}{sen(hat{A})}= frac{a+2r}{a} = 1 + 2 cdot frac{r}{a} = 1+2left [ frac{sen{hat{B}}}{sen{hat{A}}}-1 ight ]$

$2frac{sen(hat{B})}{sen(hat{A})}-1=> frac{sen{hat{C}}}{sen{hat{A}}}= 2frac{sen{hat{B}}}{sen{hat{A}}}-1= sen{hat{C}}=2sen{hat{B}}-sen{hat{A}}$

$sen{hat{C}}+sen{hat{A}}=2sen{hat{B}}$

$hat{B}=pi-(hat{A}+hat{C})=>senhat{B}=sen[pi-(hat{A}+hat{C})]$ .: $2senhat{B}=2sen(hat{A}+hat{C})=sen{hat{C}}+sen{hat{A}}=sen (hat{A}+hat{C})$

Resposta A

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