Questão 5

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Mostre que os números 16, 24 e 81 podem pertencer a uma PG e obtenha a quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos são números naturais.

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} 16 = a\ 24 = aq^m\ 81 = aq^n end{matrix} ight. Rightarrow$

$Rightarrow q^m = frac{4 cdot 6}{4 cdot 4} = frac{3}{2} Rightarrow$

$q^n = frac{81}{16} = frac{3^4}{2^4}$

$Rightarrow q = frac{3}{2}$ e $fbox {n = 4}$

$q^{n-m} = frac{81}{24} = frac{9 cdot 9}{8 cdot 3} = frac{27}{8}$

$left ( frac{3}{2} ight )^{n-m} = left (frac{3}{2} ight )^3$

$n-m= 3$

$fbox{m = 1}$

1º termo: $c_1 = a = 16$

2º termo: $c_2 = a cdot q^m = 16 cdot frac{3}{2} = 24$

3º termo: $c_3 = a cdot q ^2 = 16 cdot frac{9}{4} = 36$

4º termo: $c_4 = a cdot q^3 = 16 cdot frac{3^3}{2^3} = 54$

5º termo: $c_5 = a cdot q^4 = 16 cdot frac{3^4}{2^4} = 81$

Note que não existe $c in mathbb{Z}$ tal que $c = a cdot left (frac{2}{3} ight )^n = frac{16 cdot 2^n}{3^n}$ seja inteiro pois $16 cdot 2^n$ e $3^n$ são primos entre si.

Da mesma forma, não existe $c in mathbb{Z}$ tal que:

$c = 81 cdot frac{3^n}{2^n}$ seja inteiro, pois $81 cdot 3^n$ e $2^n$ são primos entre si.

Portanto, $exists PG$ composta pelos números inteiros, $C_i$ , $i in left { 1, 2, 3, 4,5 ight }$ , sendo que $c_1 = 16, c_2 = 24$ e $c_5 = 81$ , e $N^{circ} termos = 5$

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