Questão 6

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Seja o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 6𝑥² + 40𝑥 + 25 + 𝑘 que possui valor mínimo igual a −64, onde 𝑘 é uma constante real. Determine as raízes de 𝑞(𝑥).

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo o polinômio q(x), temos:

$q(x) = x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 40x + 25 + k$

$q(x) = (x^2-4x-5)^2 + k$

Como o primeiro termo está ao quadrado, isso significa que ele sempre será maior ou igual a zero. Logo teremos o menor valor de q(x), quando $(x^2-4x-5)^2 = 0$ . Pelo enunciado sabemos que o valor mínimo do polinômio é -64, logo podemos concluir que k = -64.

Para encontrarmos as raízes do polinômio, teremos:

$(x^2-4x-5)^2 + k = 0$

$(x^2-4x-5)^2 -64 = 0$

$(x^2-4x-5)^2 = 64$

$x^2-4x-5 = pm8$

Assim teremos:

$x^2-4x-5 = 8 Rightarrow x_1 = 2-sqrt{17} ext{ } ext{ ou } ext{ } x_2 = 2+sqrt{17}$

$x^2-4x-5 = -8 Rightarrow x_3 = 3 ext{ } ext{ ou } ext{ } x_4 = 1$

Portanto, o conjunto solução será $S = left { 1,3, 2pm sqrt{17} ight }$ .

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