Questão 7

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Determine todas as soluções da equação

4 𝑠𝑒𝑛²(7𝑥) ∙ cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) + 8 𝑠𝑒𝑛²(𝑥) + 5 cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) = 4

no intervalo $left [frac{3pi }{2},2pi ight ]$

Gabarito:

Resolução:

$4 sen^{2}(7x).cos(2x)+2sen(9x)+8sen^{2}(x)+5cos(2x)+sen(5x)=4$

$left{egin{matrix} 2sen^{{2}}.7x = 1-cos14x \ 2sen^{2}.x = 1-cos2x end{matrix} ight.$

$2.(1-cos14x).cos2x+2sen9x+4.(1-cos2x)+5cos2x+2sen5x=4$

$2cos2x - 2cos2xcos14x + 2sen9x + 4 - 4cos2x + 5cos2x+2sen5x = 4$

$3cos2x - 2cos2xcos14x + 2.(sen9x+sen5x)=0$

$3cos2x - 2cos2xcos14x + 2.(2.sen7xcos2x)=0$

$3cos2x - 2cos2xcos14x+4sen7xcos2x =0$

$cos2x.(3-2cos14x)+4sen7xcos2x =0$

$cos2x.(3-2+4sen^{2}7x)+4sen7xcos2x =0$

$cos2x.(1+4sen^{2}7x)+4sen7xcos2x = 0$

$cos2x = 0 => 2x = frac{pi }{2}+kpi => x = frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}$

$frac{3pi}{2}leqslant frac{pi}{4} + frac{kpi}{2} leqslant 2pi$

$frac{6pi}{4} leq frac{pi}{4} + frac{2kpi}{4} leq frac{8pi}{4}$

$5pi leq 2kpi leq 7pi$

$2,5 leq k leq 3,5$

$k = 3$

$4 sen^{2}7x+4sen7x+1=0; Delta =0$

$sen7x = frac{-4}{8}= -frac{1}{2}$

$left{egin{matrix} frac{3pi}{2} leq frac{pi}{6} + frac{2kpi}{7}leq2pi (I) \ \ frac{3pi}{2} leq frac{11pi}{42} + frac{2kpi}{7}leq2pi (II) end{matrix} ight.$

$(I) frac{62pi}{42}leqfrac{7pi}{42}+frac{12kpi}{42}leqfrac{84pi}{42} \ \ herefore 55leq12k leq77 => frac{55}{12}leq kleqfrac{77}{12} \ \ herefore 4,58leq kleq 6,42 \ =>k=5,6$

$(II) frac{62pi}{42} leq frac{11pi}{42} + frac{12kpi}{42} leq frac{84pi}{42} \ \=> 62leq + 11+12kleq84 \ \ herefore 51leq 12k leq 73 \ \ herefore frac{51}{12} leq k leq frac{73}{12} \ \ => 4,25 leq k leq 6,08 \ \ k=5,6$

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$s= egin{Bmatrix} frac{pi}{4}+frac{3pi}{2};frac{pi}{6}+ frac{2.5pi}{7}; frac{pi}{6}+frac{2.6pi}{7}; frac{11pi}{42}+frac{2.5pi}{7} ; frac{11pi}{42}+frac{2.6pi}{7}end{Bmatrix}$

$s= egin{Bmatrix} frac{7pi}{4}; frac{67pi}{42}; frac{79pi}{42};frac{71pi}{42}; frac{83pi}{42} end{Bmatrix}$

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