Questão 10

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Um cubo com diagonal principal $overline{AG}$ é interceptado pelo plano $alpha$ , perpendicular à $overline{AG}$ , formando uma seção hexagonal regular, Calcule, em função da aresta a do cubo:

a) o apótema dessa seção hexagonal;

b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o vértice A.

Gabarito:

Resolução:

Vértices:

E = (0,0,0) A = (0, a, 0)

F = (a, 0, 0) B = (a, a, 0)

G = (a, 0, a) C = (a, a, a)

H = (0,0, a) D = (0, a, a)

$overrightarrow{AG} = (a, -a, a) = a(1, -1, 1)$

O vetor normal ao plano $Delta MNP$ deve ser paralelo ao vetor $overrightarrow{AG}$ , sendo M, N, P os pontos médios dos segmentos $overline{EF}, overline{FB}$ e $overline{EH}$ , respectivamente.

$overrightarrow{MP} cdot overrightarrow{MN} = (P-M) cdot (N-M) = left ( frac{-a}{2}, 0, frac{a}{2} ight ) cdot left ( frac{a}{2}, frac{a}{2}, 0 ight )$

$= egin{vmatrix} widehat{x} & widehat{y} & widehat{z}\ frac{-a}{2} & 0 & frac{a}{2} \ frac{a}{2} & frac{a}{2} & 0 end{vmatrix} = widehat{x} left ( frac{-a^2}{4} ight ) + widehat{y}left ( frac{a^2}{4} ight ) + widehat{z} left ( frac{-a^2}{4} ight ) = frac{-a^2}{4} (1, -1, 1)$

Tendo provado isso, $||overrightarrow{PM}|| = sqrt {left (frac{-a}{2} ight )^2 + 0^2 + left (frac{a}{2} ight )^2} = sqrt {frac{a^2}{4} +frac{a^2}{4} } = {color{Red} frac{a sqrt2}{2}} Leftarrow a)$