Questão 2

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Definimos a função f: $mathbb{N} ightarrow mathbb{N}$ da seguinte forma:

$left{egin{matrix} f(0) =0, & \f(1) = 1, & \ f(2n)=f(n), ngeqslant 1 & \ f(2n+1)=f(n)+ 2^{[log_{2}n]}, ngeq 1 & end{matrix} ight.$

Determine f(f(2019)).

Observação : [k] é o maior inteiro menor ou igual a k

Gabarito:

Resolução:

$f(2019) =f(2*1009 + 1)$

$= f(1009) + 2^{[log_2 1009]}; [log_2 1009]=9$

$=f(1009) + 2^9(I)$

$f(1009) =f(2*504 + 1)$

$= f(504) + 2^{[log_2 504]}; [log_2 504]=8$

$=f(504) + 2^8 (II)$

$=f(504) = f(252) = f(126) = f(63) (III)$

$f(63) = f(2*31 + 1)$

$= f(31)+2^{[log_2 31]}; [log_2 31]=4$

$=f(31) + 2^4 (IV)$

$f(31) = f(2*15 + 1)$

$= f(15)+2^{[log_2 15]}; [log_2 15]=3$

$=f(15) + 2^3 (V)$

$f(15) = f(2*7 + 1)$

$= f(7)+2^{[log_2 7]}; [log_2 7]=2$

$=f(7) + 2^2 (VI)$

$f(7) = f(2*3 + 1)$

$= f(3)+2^{[log_2 3]}; [log_2 3]=1$

$=f(3) + 2^1 (VII)$

$f(3) = f(2*1 + 1)$

$= f(1)+2^{[log_2 1]}; [log_2 1]=0$

$=f(1) + 2^0$

$=1 + 1$

$=2 (VIII)$

Das relações encontradas de (I) até (VIII), temos o sistema:

$left{egin{matrix}f(2019)=f(1009) + 2^9 \f(1009)=f(504) + 2^8 \f(504)=f(63) \f(63)=f(31) + 2^4 \f(31)=f(15) + 2^3 \f(15)=f(7) + 2^2 \f(7)=f(3) + 2^1 \f(3)=2 end{matrix} ight.$

Organizando as equações :

$left{egin{matrix} f(2019)-f(1009) = 2^9 \f(1009)-f(504) = 2^8 \f(504)-f(63)=0 \f(63)-f(31) = 2^4 \f(31)-f(15) = 2^3 \f(15)-f(7) = 2^2 \f(7)-f(3) = 2^1 \f(3)=2 end{matrix} ight.$

Fazendo a soma das equações temos :

$f(2019)= 2^9 + 2^8 + 0 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2$

$f(2019)= 512 + 256 + 16 + 8 + 4 + 2 +2$

$f(2019)= 800 (IX)$

$f(f(2019))= f(800) = f(400) = f(200)=f(100) = f(50)=f(25)$

$f(25)= f(2*12+1)$

$= f(12)+2^{[log_2 12]} ; [log_2 12]=3$

$= f(6)+2^3$

$= f(3)+2^3$

$=f(2*1 +1) + 2^3$

$= f(1)+2^{[log_2 1]} + 2^3$

$= 1 + 2^0 + 2^3$

$= 1 + 1 +8$

$f(f(2019))=10{color{Red} }$

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