Questão 3

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Dadas as funções definidas nos reais $mathbb{R}$ :

$\_{f_{1}(x )} = e^x, \_{f_{2}(x )} =sin (x),\ _{f_{3}(x )} = cos (x), \_{f_{4}(x )} = sin(2x) \_{f_{5}(x )} =e^{-x}$ .

Mostre que existe uma única solução $a_{1} , a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ tal que:

$a_{1}f_{1}(x ) +a_{2}f_{2}(x )+a_{3}f_{3}(x )+a_{4}f_{4}(x )+a_{5}f_{5}(x )$ seja uma função constante nula, onde $a_{1} , a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}inmathbb{R}$

Gabarito:

Resolução:

Se F(x) é a função, então, para 5 valores quaisquer de x, F(x) = 0.

Sem perda de generalidade, teremos :

$\x = 0 \x=pm pi \\x=pm frac{pi }{2}$

Montando um sistema de equações com os 5 valores de x, temos :

$\\a_{1}*1 + a_{2}*0 + a_{3}*1 + a_{4}*0 + a_{5}*1 = 0 \\a_{1}*e^pi + a_{2}*0 + a_{3}*(-1) + a_{4}*0 + a_{5}*e^{-pi} = 0 \\ a_{1}*e^{-pi} + a_{2}*0 + a_{3}*(-1) + a_{4}*0 + a_{5}*e^{pi} = 0 \\ a_{1}*e^{pi/2} + a_{2}*1 + a_{3}*(0) + a_{4}*0 + a_{5}*e^{-pi/2} = 0 \\ a_{1}*e^{-pi/2} + a_{2}*(-1) + a_{3}*(0) + a_{4}*0 + a_{5}*e^{pi/2} = 0$

Organizando :

$egin{bmatrix} A end{bmatrix} egin{bmatrix} X end{bmatrix} = egin{bmatrix} B end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} 1 & 0 &1 & 0 &1 \ e^pi &0 &-1 &0 &e^{-pi} \ e^{-pi} & 0 &-1 & 0 &e^{pi} \ e^{pi/2} &1 & 0 &0 &e^{-pi/2} \ e^{-pi/2} &-1 & 0 &0 & e^{pi/2} end{bmatrix} * egin{bmatrix} a_1\ a_2\ a_3\ a_4\ a_5 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0\ 0\ 0\ 0\ 0 end{bmatrix}$

Como a coluna 4 é nula, consideremos apenas o sistema (excluindo-se a última equação) :

$egin{bmatrix} 1 & 0 &1 & &1 \ e^pi &0 &-1 & &e^{-pi} \ e^{-pi} & 0 &-1 & &e^{pi} \ e^{pi/2} &1 & 0 & &e^{-pi/2} \ e^{-pi/2} &-1 & 0 & & e^{pi/2} end{bmatrix} * egin{bmatrix} a_1\ a_2\ a_3\ a_5 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0\ 0\ 0\ 0\ 0 end{bmatrix}$

Tal sistema está super-determinado, possui mais equações que incógnitas, mas por ser homogêneo basta que o determinante de uma de suas sub-matrizes 4x4 seja diferente de zero para que a solução seja única.

Solução trivial é solução : $[a_1 , a_2, a_3, a_5] = [0,0,0,0]$

Seja C a matriz formada pelas quatro primeiras linhas da matriz A sem a quarta coluna. Mostremos que detC≠0.

Por La Place :

$egin{matrix} det(C)=&1 * (-1)^{(4+2)}*egin{bmatrix} 1 & +1 &1 \ e^pi &-1 &e^{-pi} \ e^{-pi} & -1 &e^pi end{bmatrix} \\ =& 1 * [-e^pi+e^{-2pi}-e^pi+e^{-pi}+ e^{-pi}-e^{2pi}]\\ =&2[e^{-pi}-e^{pi}] + e^{-2pi}-e^{2pi} \\ =&(e^{-2pi}+2e^{-pi})-(e^{2pi}+2e^{pi}) \\ =&(e^{-2pi}+2e^{-pi}+1)-(e^{2pi}+2e^pi+1) \\ =&(e^{-pi}+1)-(e^{pi}+1)^2 eq 0 end{matrix}$

A única solução possível para tal é:

$\\\a_1 = a_2 = a_3 = a_5 = 0 \ herefore F(x) = a_4*sin(2x)\\ Para\ F(x) = 0 , forall xin mathbb{R},a_4=0\\ herefore a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=0\\c.q.d.$

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