Questão 4

IME 2019

Física

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Um tubo rígido aberto nas extremidades, com seção reta de área constante, é preenchido com um fluido de massa específica $mu _1$ até alcançar a altura $h_1$ . O tubo é lacrado em uma das extremidades, conforme ilustra a Figura 1, imediatamente acima de uma válvula, que se encontra fechada, de modo que a coluna de ar também tenha altura $h_1$ e esteja com a mesma pressão atmosférica externa. A haste da válvula mantém presa uma esfera que se ajusta bem ao duto de saída, com seção reta $S_d$ circular. Um segundo fluido, de massa específica $mu _2<mu _1$ , é lentamente colocado na extremidade aberta até formar uma coluna de altura $h_2$ , conforme mostra a Figura 2. Em determinado instante, a válvula é subitamente aberta, liberando a esfera, que é impulsionada pelo ar comprimido por um breve intervalo de tempo $Delta t$ , até atingir o ponto P. A esfera percorre o trajeto dentro do duto até alcançar uma mola, de constante elástica $k$ , que se deforma $Delta x$ . Com relação à situação apresentada, determine:

a) a pressão da coluna confinada de ar, em N/m2 , supondo a temperatura constante, após a inserção do segundo fluido e antes da abertura da válvula.

b) a força de atrito média a partir do ponto P, em N, que age na esfera em sua trajetória até alcançar a mola.

Observações:

considere constante a pressão que impulsiona a esfera durante seu movimento até o ponto P;
após o ponto P, o interior do duto encontra-se à pressão atmosférica;
não há força de atrito durante a compressão da mola;
não há atrito no movimento da esfera entre a válvula e o ponto P.

Dados:

aceleração da gravidade: $g$ = 10 m/s²;
alturas: $h_1$ = 1 m; $h_2$ = 1,75 m; e $h_3$ = 4 m;
ângulo $alpha$ = 30º;
área da seção reta do duto: $S_d$ = 1 cm² ;
constante elástica da mola: $k$ = 2.000 N/m;
deformação máxima da mola: = 2,5 cm;
distância $d_1$ = 1 m;
intervalo de tempo que a esfera é impulsionada: $Delta t$ = 0,1 s;
massa da esfera: $m$ = 50 g;
massas específicas: $mu _1$ = 2.500 kg/m³ ; e $mu _2$ = 2.000 kg/m³;
pressão atmosférica local: $P_a$ = $10^5$ N/m2.

Gabarito:

Resolução:

Do equilíbrio de pressões da fig. 1, a altura da coluna da direita é 2 $h_1$
Para a situação do item (a), temos o seguinte equilíbrio de pressões:

$P_{ar}+mu _1gy=mu _2gh_2+P_{atm}$

Como o volume do líquido de densidade $mu _1$ não muda:

$2h_1cdot A=2cdot A(2h_1-x-y)+Ay=>2h_1=2x+y$

Considerando o ar um gás ideal:

$P_{atm}cdot h_1=P_{ar}cdot x$

Substituindo:

$\P_{ar}+mu_1gcdot 2h_1left [ 1 - frac{P_{atm}}{P_{ar}} ight ]=mu_2gh_2+P_{atm}\ P_{ar}+5cdot 10^4cdot left [ 1 - frac{10^5}{P_{ar}} ight]=13,5cdot 10^4\P_{ar}=1,25cdot 10^4frac{N}{m^2}$

Podemos pensar no impulso que a bola sofreu devido ao ar comprimido:

$F. Delta t = m.v_o Rightarrow (P-P_o).S.Delta t = m.v_0Rightarrow v_0=5m/s$

Agora podemos fazer a conservação de energia:

$\ E_C+E_{p.g} = E_{p.e}+ W_{fat}Rightarrow frac{mv^2}{2}+m.g.h_3 = frac{kx^2}{2}+ Fat(2d_1+ frac{h_3}{sen(alpha)}) \ \Fat=0,2N$

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