Questão 10

IME 2019

Física

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Um profissional de iluminação deseja projetar um sistema de feixe de luz capaz de iluminar o fundo reflexível de uma piscina e o gramado posicionado logo após o lado $ext{A}$ . Sua ideia é submergir parcialmente um bloco maciço em formato de paralelepípedo reto, com uma fonte luminosa presa em sua base submersa $B_{1}$ , que emite um feixe de luz que percorre a trajetória mostrada na figura. O bloco é fixado por dois cabos horizontais presos a sua base não submersa $B_{2}$ e ortogonais ao lado A da piscina, sendo um deles amarrado, por meio de roldanas, na tampa articulada do compartimento onde é guardado o material de limpeza da piscina e o outro, na árvore. Considere que a piscina esteja completamente cheia com água e que a tração aplicada nos cabos seja metade do seu valor máximo para ruptura, especificado pelo fabricante. Calcule:

a) a altura $L$ do bloco;

b) a distância $d$ em que o bloco deve ser posicionado, em relação ao lado $ext{A}$ da piscina.

Dados:

• profundidade da piscina: 3 m;

• índice de refração do ar: 1;

• índice de refração da água da piscina: 5/3;

• massa específica da água: 1 g/cm3;

• massa específica do material do bloco: 0,5 g/cm3;

• comprimento tda tampa: 1 m;

• massa da tampa: 8 kg;

• tração máxima até a ruptura nos cabos: 30 N;

• aceleração da gravidade: 10 m/s2.

Observações:

• despreze o atrito e as dimensões das quatro roldanas;

• considere a árvore uma estrutura rígida;

• as roldanas estão fixas.

Gabarito:

Resolução:

Cálculo do ângulo limite:

$eta_{agua}cdot sen heta_L=eta_{ar}cdot sen90^circRightarrow sen heta_L=dfrac{3}{5}$

Da figura, temos:

$x_1=3 an heta_L=3cdotdfrac{3}{4}Rightarrow x_1=2,25m$

Equilíbrio de forças no bloco:

$P=E$

$ho_ccdot V_{total}cdot g= ho_Lcdot V_{sub}cdot g$

$dfrac{y}{L}=dfrac{ ho_c}{ ho_L}=dfrac{1}{2}Rightarrow y=dfrac{L}{2}$

Desse modo, temos a equação 1: $dfrac{L}{2}+dfrac{4x_2}{3}=3$

Equilíbrio de forças na tampa:

Em O, temos o equiliíbrio de torques $sum au_0=0$ e a equação 2: $dfrac{L}{2}=tcdot sen heta$

$herefore mcdot gcdot cos heta cdot dfrac{t}{2}=30cdot sen hetacdot t$

$an heta=dfrac{4}{3}Rightarrow sen heta=dfrac{4}{5}$

Logo, da equação 2:

$L=2cdot tcdot sen heta=2cdot 1cdot 0,8=1,6m$

Da equação 1:

$dfrac{L}{2}+dfrac{4x_2}{3}=3Rightarrow x_2=1,65m$

Por fim,

$d=x_1+x_2=1,65+2,25=3,9m$

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