Questão 3

IME 2019

Física

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Uma partícula, inicialmente em repouso sobre o plano horizontal XY, está presa a duas molas idênticas, cada uma solidária em sua outra extremidade a um cursor que pode movimentar-se sobre seu respectivo eixo, como mostrado na figura. As molas são rígidas o suficiente para se deflexionarem apenas nas direções ortogonais de seus respectivos eixos aos quais estão presas. No instante t = 0, a partícula é puxada para o ponto de coordenadas ( $frac{11}{10}L$ $frac{12}{10}L$ ) e é lançada com velocidade inicial ( $frac{sqrt{3}}{10}omega L,0$ ).

Determine:

a) as equações das componentes de posição, velocidade e aceleração da partícula nos eixos X e Y, em função do tempo;

b) a área no interior da trajetória percorrida pela partícula durante o movimento.

Dados:

massa da partícula: m;
constante elástica das molas: k;
$omega = sqrt{frac{k}{m}}$ ;
comprimento das molas não flexionadas: L. Observações:

Observações

o plano XY é totalmente liso;
não há influência da gravidade no movimento da partícula;
os cursores deslizam sem atrito pelos eixos;
as coordenadas X e Y da partícula são sempre positivas.

Gabarito:

Resolução:

Como as molas só se deformam em um sentido, então podemos estudar o movimento dos eixos separadamente:

Eixo x

Aqui apenas a Força F2 age na nossa partícula, como temos um movimento harmônico MHS, as nossas posições e velocidades podem ser definidos por:

$\ x(t)= A.cos(wt + phi) \ v_x(t)= -w.A .sen(wt+ phi)$

Para o momento inicial (t=0) temos que:

$frac{11L}{10}= A.cos(phi)+LRightarrow frac{L}{10}= A.cos(phi) (I)$

Note que foi somado o comprimento L na fórmula porque o nosso referencial não está na partícula e sim na mola, então a posição com o tempo dessa partícula é a oscilação mais o próprio comprimento L.

$frac{sqrt3 . cancel w.L}{10}= - cancel wA.sen(phi)Rightarrow frac{L . sqrt 3 }{10}=- A.sen(phi) (II)$

Elevando a equação (I) e (II) ao quadrado e somando-as temos:

$frac{L^2}{100}+frac{3L^2}{100}= A^2.cos^2(phi)+ A^2.sen^2(phi)Rightarrow frac{4.L ^2. }{100}= A^2Rightarrow A= frac{L}{5}$

Agora substituindo em uma das equações (I) ou (II) temos:

$frac{L . sqrt 3 }{10}=- A.sen(phi)Rightarrow frac{L . sqrt 3 }{10}=- frac{L}{5}.sen(phi)Rightarrow sen(phi)= frac{sqrt 3}{2}Rightarrow phi = frac{pi}3$

Eixo y

Agora precisamos analisar a força F1:

$\ y(t)= B.cos(wt + phi) \ v_y(t)= -w.B .sen(wt+ phi)$

Aqui foi chamado a amplitude nesse eixo de B, apenas para não confundir com a amplitude em A, fazendo o mesmo procedimento aterior temos:

em (t=0)

$\ frac{12L}{10}= B.cos(phi) +L Rightarrow frac{2L}{10}= B.cos(phi) (III)$

$0=-w.B.sen(phi)Rightarrow sen(phi)= 0 Rightarrow phi = 0$

Substituindo na equação (III) temos:

$frac{2L}{10}= B.cos(0)Rightarrow B= frac{L}{5}$

Assim as equações da partícula são:

$\ x(t)= frac{L}{5}.cos(wt - frac{pi}{3}) \ \ v_x(t) = -w. frac{L}{5}sen(wt-frac{pi}{3}) \ \ a_x(t )= w^2 .frac{L}{5}.cos(wt - frac{pi}{3})$

E no eixo y:

$\ y(t)= frac{L}{5}.cos(wt ) \ \ v_y(t) = -w. frac{L}{5}sen(wt) \ \ a_x(t )= w^2 .frac{L}{5}.cos(wt )$

Com isso a nossa trajetória será uma elipse, como a velocidade é perpendicular ao raio do movimento, podemos definir a seguinte condição de perpendicularidade:

$\ - cancel { frac{L^2.w}{25}}.sen(wt-frac{pi}{3}).cos(wt-frac{pi}{3})- cancel { frac{L^2.w}{25}}.sen(wt).cos(wt)=0 \ \$

Lembrando do arco doblo do seno temos:

$\ sen(2wt-frac{2. pi}{3}) =- sen(2wt)Rightarrow sen(2wt-frac{2. pi}{3}) =sen(-2wt) \ \ 2wt-frac{2. pi}{3} =-2wt Rightarrow 4wt = frac{2. pi }{3} Rightarrow wt= frac{pi}{6}$

Mas devemos lembrar também que 2π também é solução para a igualdade de seno, sendo:

$4wt - frac{2. pi }{3}=2piRightarrow 4wt =frac{8pi}{3} Rightarrow wt= frac{2pi}{3}$

Como o raio da elipse pode ser calculado por:

$r= sqrt{x^2+y^2}$

$r= sqrt{frac{L^2}{25}.cos^2(wt - frac{pi}{3} )+frac{L^2}{25}.cos^2(wt)}$

Esses dois valores de wt foi obtida para os eixos da elipse a e b então substituindo esses valores encontrados de wt, obtemos o seguinte resultado:

$\ a= sqrt{frac{L^2}{25}.cos^2(frac{pi}{6}- frac{pi}{3} )+frac{L^2}{25}.cos^2(frac{pi}{6})} Rightarrow a = frac{L. sqrt {6}}{10} \ \ b= sqrt{frac{L^2}{25}.cos^2(frac{2.pi}{3}- frac{pi}{3} )+frac{L^2}{25}.cos^2(frac{2pi}{3})} Rightarrow b= frac{L. sqrt {2}}{10}$

Sabendo que a área da elipse é dada por:

$Area = a.b.pi Rightarrow Area = frac{pi .L^2.sqrt3}{50}$

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