Questão 15

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regula de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação à base pentagonal satisfaz:

2,9 ≤ h ≤ 3,0

3,8 ≤ h ≤ 4,0

4,8 ≤ h ≤ 4,9

5,8 ≤ h ≤ 6,0

6,1 ≤ h ≤ 6,2

Gabarito:

2,9 ≤ h ≤ 3,0

Resolução:

Pirâmide invertidam, onde:

$A_g$ : Área da base do copo.

$A_8$ : Área da superfície do líquido.

$V_V$ : Volume do espaço vazio.

Escrevendo V_Vnas duas situações:

$V_V=frac{9.A_9}{cancel{3}} - frac{8.A_8}{cancel{3}} = frac{x.A_x}{cancel{3}} Rightarrow x=9-h Rightarrow 9-h= frac{9.A_9}{A_x}-frac{8.A_8}{A_x}$

Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado das razões entre as dimensões lineares. Então:

$frac{A_9}{A_x} = (frac{9}{9-h})^2 quad ext{e} quad frac{A_8}{A_x} = (frac{8}{9-h})^2 Rightarrow 9-h = 9 frac{9^2}{(9-h)^2}-8 frac{8^2}{(9-h)^2}$

$Rightarrow (9-h)^3 = 9^3-8^3 = 729-512$

$Rightarrow (9-h)^3 = 9^3-8^3 = 217$

$Rightarrow 6^3 leq (9-h)^3 leq 6,1^3$

$Rightarrow 6 leq (9-h) leq 6,1$

$Rightarrow 2,9 leq h leq 3$

Alternativa A

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