Questão 4874

IME 2022

Física

[IME - 2012/2013 - Adaptada] Uma esfera de gelo de raio R flutua parcialmente imersa em um copo com água, como mostra a figura acima. Com a finalidade de iluminar uma bolha de ar, também esférica, localizada no centro da esfera de gelo, utilizou-se um feixe luminoso de seção reta circular de área que incide verticalmente na esfera. Considerando que os raios mais externos do feixe refratado tangenciam a bolha conforme a figura, determine a massa específica do gelo.

Dados:

Índice de refração do ar: 1,0;

Índice de refração do gelo: 1,3;

Massa específica do ar: 1,0 kg/m³;

Massa específica da água: 10³ kg/m³;

Volume da calota esférica: 2 ⋅ 10^-2 πR³ .

943,20 kg/m³

985,45 kg/m³

902,03 kg/m³

991,33 kg/m³

922,11 kg/m³

Gabarito:

985,45 kg/m³

Resolução:

$A = pi a^{2}$

$pi a^{2} = frac{pi R^{2}}{100}$

$a = frac{R}{10}$

2. Pela Lei de Snell:

$n_{ar} sen (90 - alpha) = n_{gelo} cdot sen eta$

$n_{ar} cdot cos alpha = n_{gelo} cdot frac{r}{R}$

Onde r é o raio da esfera pequena.

O cosseno de alfa pode ser calculado facilmente:

$cos alpha = frac{a}{R}$

Portanto:

$n_{ar} cdot frac{a}{R} = n_{gelo} = frac{r}{R}$

$r = frac{a_{ar}}{n_{gelo}} cdot a = frac{n_{ar}}{n_{gelo}} cdot frac{R}{10} = frac{1}{13}R$

Pelo equilíbrio de translação mecânico:

$E = mg$

$d_{agua} cdot g (v_{esfera} - V_{calota}) = d_{gelo} (V_{esfera} - V_{esfera}) g + d_{ar} cdot V_{esfera} cdot g$

$10^{3} cdot 10 (frac{4}{3}pi R^{3} - frac{2}{100}pi R^{3}) = d_{gelo} cdot 10 (frac{4}{3} pi R^{3} - frac{4}{3} pi frac{R^{3}}{(13)^{3}}) + 1 cdot frac{4}{3} pi frac{R^{3}}{(13^{3})} cdot 10$

$d_{gelo} = 985 frac{kg}{m^{3}}$

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