Questão 9

IME 2022

Física

(IME 2022/2023 - 2ª fase)

Um reservatorio com 4 m x 5 m de base retangular contém 1000 L de água. Duas treliças iguais em planos paralelos verticais o sustentam na configuração mostrada na figura acima, por meio de quatro apoios que estao representados por pequenos triângulos. No instante $t = 0$ , a água passará entrar no reservatório a uma vazão de $2 m^3 /min$ .

Dados:

área transversal de cada barra das treliças: $0,04 m^{2}$ ;
pressão de ruptura de cada barra das treliças: 1 MPa;
$sqrt{2} approx 1,4$ ;
aceleração da gravidade: $10 m/s^2$ ;
massa específica da água: $1000 kg/m^{2}$ ;

Observações:

os quatro apoios do reservatório de água estão num mesmo plano horizontal;
as paredes laterais do reservatório de água estão contidas em planos verticais;
despreze o peso do reservatório;
a pressão em cada barra das treliças é constante em sua área;
cada treliça é indeformável e apenas pode se romper quando alguma pressão de ruptura for atingida.

Mediante os dados apresentados, determine:

a) o módulo da tensão em cada uma das barras das treliças na iminência do primeiro rompimento de barra devido ao aumento do peso acumulado no reservatório;

b) o instante $t$ em que ocorre o primeiro rompimento de barra.

Gabarito:

Resolução:

Analisando a estrutura completa, temos:

$4F=P_{total}Rightarrow F=frac{P}{4}$

Temos:

$F+f_a.cos45^o=0 ightarrow frac{P}{4}+f_afrac{sqrt2}{2}=0$ $ightarrow f_a=frac{-Psqrt2}{4}$

$f_a.cos45^o+f_b=0 ightarrow f_b=frac{P}{4}$

$f_a.cos45^o=f_c ightarrow f_c=frac{-P}{4}$

A força para ruptura será $F_R=10^6.4.10^{-2}=40000N$

Considerando que $f_a$ se rompe primeiro, temos:

$40000=frac{Psqrt2}{4}$

$P=8sqrt2.10^4N$

Agora partindo para o reservatório temos:

$P= ho g(v_o+Zt)=10^4.(1+frac{2t}{60})=8sqrt2.10^4$

$|f_a|=4cdot 10^4 ; N$ , $|f_b|=|f_c|=2sqrt{2}cdot 10^4 ; N$ ,

Assim, $t=(8sqrt2-1).30 ightarrow t approx 306s$ .

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