Questão 33506
(IME - 2009/2010 - Adaptada) Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD. A diagonal AC divide  em dois ângulos iguais a 30° e 15º. A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero A'B'C'D'. Calcule o perímetro de A'B'C'D'.
Gabarito:
Resolução:
Do enunciado, podemos desenhar a seguinte imagem:
Seja AB = CD = y. Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC, temos:
y/sen15º = x/sen30º, então
y = (√6 - √2)x/2
Do triângulo ABB', temos que AB' = y*cos30º = (√6 - √2)x/2 * √3/2 = (3√2 - √6)x/4
Ainda, temos que BB' = y*sen30º = (√6 - √2)x/4
Agora, do triângulo ADD', vem que:
AD' = x*cos15 = (√6 + √2)x/4
Logo, B'D' = AD' - AB' = (√6 + √2)x/4 - (3√2 - √6)x/4 = (√6 - √2)x/2
Então B'P = D'P = B'D'/2 = (√6 - √2)x/4
Com isso, vemos que B'P = BB'. Assim, o ângulo BPA = 45º.
Consequentemente, o triângulo retângulo AA'P também será isósceles, logo AA' = A'P.
Como o ângulo A'AP = 45º, então A'AB = 15º. Logo, temos que AA' = y*cos15º = (√6 - √2)x/2 * (√6 + √2)/4 = x/2 = A'P.
Nos triângulos B'PA' e A'PD', usamos a lei dos cossenos para encontrar A'B' e A'D':
Por fim, temos da simetria, que A'B' = D'C' e A'D' = B'C'.
Logo, o perímetro de A'B'C'D' é igual a 2*A'B' + 2*A'D' = (√3 - 1)x + √2 x = (√3 + √2 - 1)x