Questão 1

IME 2022

Matemática

(IME - 2021/2022 - Adaptada)

Seja o sistema

$left{egin{matrix} 3x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}=6x_4-1\ 3x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+3x_{4}^{2}=6x_3-1 \ 3x_{1}^{2}+3x_{3}^{2}+3x_{4}^{2}=6x_2-1 \ 3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+3x_{4}^{2}=6x_1-1 \ end{matrix} ight.$

O valor de $frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}+frac{1}{x_3}+frac{1}{x_4}$ é:

Considere: $xinmathbb{R}$

$frac{4}{3}$ .

$frac{2}{3}$ .

$frac{1}{3}$ .

Gabarito:

Resolução:

Considerando $xinmathbb{R}$ , temos a seguinte solução:

Seja $S_i$ a soma das iésimas potências das incógnitas x1, x2, x3 e x4. Além disso, sejam as equações mostradas no enunciado numeradas na ordem em que aparecem de (1) a (4). Sendo assim, ao somarmos todas as equações mostradas, temos:

$3cdot(x_3-x_4)^2 = 6cdot(x_4-x_3)Rightarrow (x_3-x_4)cdot(x_3+x_4) = 2cdot(x_4-x_3)$

(i) Se $x_3 eq x_4$ , temos:

Analogamente, subtraindo sempre uma equação da anterior, têm-se os seguintes resultados:

$\(3)-(2): 3x_{3} = x_2\ (4)-(3): 3x_2 = x_1\ (1)-(4): 3x_1 = x_4\$

Somando esses resultados, segue que:

$3cdot S_1 = S_1 Rightarrow S_1 = 0$

Levando esse resultado na equação (3), temos que:

$9S_2 = 6 cdot 0 - 4 Rightarrow S_2 = -frac{4}{9}$

O que é um absurdo, uma vez que $S_2$ representa a soma dos quadrados das incógnitas. Dessa forma, temos que $x_3=x_4$ . Analogamente, se pegarmos o mesmo raciocínio utilizada para encontrar a condição (i) mostrada, só que agora para as outras incógnitas, segue que:

$x_1=x_2=x_3=x_4=x$

Substituindo este resultado em qualquer uma das equações mostradas, digamos na (1), temos:

$3x^2+3x^2+3x^2=6x-1 Rightarrow 9x^2-6x+1 = 0 Rightarrow (3x-1)^2=0$
$oxed{x=frac{1}{3}}$

Portanto, segue que:

$S_{-1} = frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}+frac{1}{x_3}+frac{1}{x_4} = 3 + 3 + 3 +3 = 12$

Alternativa correta é a letra A.

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