Questão 7518

ITA 1977

Matemática

(ITA - 77) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da circunferência que passa pelos pontos P₁(0, -3) e P₂(4, 0), e cujo centro está sobre a reta x + 2y = 0, é:

5(x² + y²) + 2x + 3y = 0

5(x² + y²) - 14x + 7y - 24 = 0

x² + y² + 4x - 2y - 15 = 0

x² + y² - 2x + y + 5 = 0

nenhuma das anteriores

Gabarito:

5(x² + y²) - 14x + 7y - 24 = 0

Resolução:

1) Seja $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ a equação da circunferência procurada.

2) Temos $P_1(0,-3) ; e ; P_2(4,0)$ pertencentes a essa circunferência

3) $large (-frac{A}{2}, -frac{B}{2})epsilon (t): x+2y=0$

Então,

$large left{egin{matrix} 0^2+(-3)^2+A cdot 0 +B cdot (-3) +C=0 \ 4^2+0^2+A cdot 4 + B cdot 0 +C=0 \ -frac{A}{2} + 2 cdot (- frac{B}{2}) = 0 end{matrix} ight. ightarrow$

$large left{egin{matrix} -3B+C=-9 \ 4A+C=-16 \ A+2B=0 end{matrix} ight. ightarrow$

$large left{egin{matrix} A = - frac{14}{5} \ B = frac{7}{5} \ C = - frac{24}{5} end{matrix} ight.$

4) Temos, pois

$large \ x^2+y^2 - frac{14}{5}x+ frac{7}{5}y-frac{24}{5}=0 \ oxed{5(x^2+y^2)-14x+7y-24=0}$

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