Questão 33008

ITA 1998

Matemática

(ITA 1998) O valor de $tg^{10}x-5tg^{8}xcdot sec^{2}x+10tg^{6}xsec^{4}x-10tg^{4}xsec^{6}x+5tg^{2}xsec^{8}x-sec^{10}x$ , para todo x $in$ [0, $frac{pi}{2}$ [, é:

$frac{-sec^{2}x}{1+sen^{2}x}$

$-secx+tgx$

-1

zero

Gabarito:

-1

Resolução:

A equação é $tg^{10}x-5tg^{8}xcdot sec^{2}x+10tg^{6}xsec^{4}x-10tg^{4}xsec^{6}x+5tg^{2}xsec^{8}x-sec^{10}x$ .

Perceba que esta expressão só possui dois termos trigonométricos o tg(x) e sec(x). Repare também que os coeficientes de tg e sec elevados a um mesmo expoente são simetricamente opostos, ou seja, o coeficiente do tg¹⁰x é oposto ao coeficiente do sec¹⁰x (1 e -1 são opostos). Isto nos remete ao Binômio de Newton.
Veja que todos os expoentes são pares, então podemos fazer com que os expoentes fiquem da forma 2.k, k natural:

$left(tg^{2}x ight )^5-5left(tg^{2}x ight )^4cdot sec^{2}x+10left(tg^{2} x ight )^3left(sec^{2}x ight )^2-10left(tg^{2} x ight )^2left(sec^{2}x ight )^3+5tg^{2}xleft(sec^{2}x ight )^4-left(sec^{2}x ight )^5$

Vejamos o binômio de Newton para (a - b)⁵:

$left(a-b ight )^5=inom{5}{0}cdotleft(a ight )^5cdotleft(-b ight )^0+inom{5}{1}cdotleft(a ight )^4cdotleft(-b ight )^1+inom{5}{2}cdotleft(a ight )^3cdotleft(-b ight )^2+inom{5}{3}cdotleft(a ight )^2cdotleft(-b ight )^3+inom{5}{4}cdotleft(a ight )^1cdotleft(-b ight )^4+inom{5}{5}cdotleft(a ight )^0cdotleft(-b ight )^5Rightarrow\\ left(a-b ight )^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5$

Se substituirmos a por tg²x e b por sec²x, obtemos:

Desenvolvemos, agora, tg²x e sec²x:

$tg^2x=frac{sen^2x}{cos^2x}$ e $sec^2x=frac{1}{cos^2x}$

$tg^2x-sec^2x=frac{sen^2x}{cosx^2x}-frac{1}{cos^2x}=frac{sen^2x-1}{cos^2x}=frac{sen^2x-left(sen^2x+cos^2x ight )}{cos^2x}=-frac{cos^2x}{cos^2x}Rightarrow tg^2x-sec^2x=-1$

Logo,

$left(tg^2x-sec^2x ight )^5=left(-1 ight )^5=-1$ .

A alternativa correta é, portanto, a Letra D.

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