Questão 36586

ITA 1998

Matemática

(ITA - 1998) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então

m = 9, n = 7.

m = n = 9.

m = 8, n = 10.

m = 10, n = 8.

m = 7, n = 9.

Gabarito:

m = n = 9.

Resolução:

Primeiro vamos analisar o poliedro inicial:

Sendo x o número de faces triangulares e y o número de faces quadrangulares:

O número de arestas é dado por:

$frac{3x+4y}{2}=16$

Pela relação de Euler:

$V+F=A+2$

$n+(x+y)=16+2$

No polígono formado após a secção, temos n-1 vértices e y+1 faces quadrangulares, logo:

$frac{4(y+1)}{2}=2y+2$

$n-1+y+1=(2y+2)+2$

A partir desses dois sistemas:

$left{egin{matrix} 3x+4y=32\ n+x+y=18 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} y+1=4y+4\ n=y+4 end{matrix} ight.$

Subtraindo a última equação da segunda do primeiro sistema:

$x+y=18-y-4$

$x+2y=14$

$x=14-2y$

Achamos assim, pela primeira equação o valor de y:

$3(14-2y)+4y=32$

$y=5$

Logo x=4, n=9 e m=9.

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