Questão 6558

Gabarito: Apenas (I) e (III) são verdadeiras.

Resolução:

1. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. -> Verdadeira

Para resolver essa questão, lembre-se que a quantidade de diagonais em um polígono é dada por . Com isso, considerando que d=n:

Multiplicando ambos os lados da equação por 2:

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

d² - 2d - 3d = 0

d² - 5d = 0

Colocando o d em evidência:

d (d-5) = 0

Assim, d=0 ou d=5. 

Com isso, temos que o pentágono é o único polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.

2. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.-> Falsa

Sabendo que a quantidade de diagonais em um polígono é dada por 

Como nesse caso, d=4n. Assim,

Multiplicando ambos os lados da equação por 2:

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

8n = n² - 3n

n² - 11n = 0

Colocando n em evidência:

n (n-11) = 0

Assim, n=0 ou n=11

Com isso, existe um polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados que é o undecágono.

3. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar. -> Verdadeira

Seja n o número de lados do polígono, com n um número natural diferente de zero. O número de diagonais do polígono é a combinação de "n escolhe 2" menos o número de lados do polígono (pois na combinação é contabilizado os lados do polígono). Fazendo os cálculos, chegaremos que o número d de diagonais de um polígono com n lados é: d = n(n-3)/2 Fazendo a razão R = d/n, temos: R = (n-3)/2 Para que R seja natural, n-3 deve ser divisível por 2, ou seja, n-3 deve ser PAR. Para que isso ocorra, n deve ser ímpar.