Questão 7081

ITA 1998

Matemática

(ITA - 1998) A inequação

é satisfeita para todo x S. Então:

Gabarito:

Resolução:

Primeiro vamos ajustas esse lado direito na inequação, lembremos da propriedade de logaritmos:

$large log_{frac{1}{x}}y=-log_x y$

portando podemos reescrever a desigualdade do problema por

$large 4xlog_5(x+3)geq-(x^2+3)log_5(x+3)$

ou de forma ainda mais agradável:

$large (x^2+4x+3)log_5(x+3)geq 0$

considere as duas funções

$large egin{align} f(x)=&x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\ g(x)=&log_5(x+3) end{align}$

veja que por causa do logaritmo, para a expressão fazer sentido x>-3, e para que a desigualdade seja válida para todo x em S as funções devem ser zero, ou concordar em sinais. Fazendo então a análise de sinais para cada uma das funções:

$large egin{cases} xin(-3,-1) &Rightarrow f(x)<0 \ x=-1 &Rightarrow f(x)=0\ x>-1 &Rightarrow f(x)>0 end{cases}$

$large egin{cases} xin(-3,-2) &Rightarrow g(x)<0 \ x=-2 &Rightarrow g(x)=0\ x>-2 &Rightarrow g(x)>0 end{cases}$

Veja que ambas as duas funções concordarão em sinais quando $large xin(-3,-2]cup[-1,+infty)$ . Para visualizar:

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