(Ita 1998) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x - 2 obtém-se um quociente q(x) e resto igual a 26. Na divisão de p(x) por x2 + x - 1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x - 5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então, h(2) + h(3) é igual a:
16
zero
-47
-28
1
Gabarito:
16
O que temos pelo enunciado:
Como P(x) é de grau 4, sua divisão por um polinômio de grau 2 multiplicado por h(x) indica que h(x) também tem grau 2, então h(x) = ax² + bx + c
P(x) = (x - 2)*q(x) + 26
P(x) = (x² + x - 1)*h(x) + 8x - 5
q(0) = 13
q(1) = 26
Aplicando 0 e 1 no polinômio P(x), temos:
P(0) = (0 - 2)*13 + 26 = 0
P(0) = (0 + 0 - 1)*h(0) - 5 = também deve ser igual a 0
-h(0) -5 = 0
h(0) = 5
P(1) = (1 - 2)*26 + 26 = 0
P(1) = (1 + 1 - 1)*h(1) + 3 = também deve ser igual a 0
h(1) + 3 = 0
h(1) = -3
P(2) = (2 - 2)*q(2) + 26 = 26
P(2) = (4 + 2 - 1)*h(2) + 11 = também deve ser igual a 26
5*h(2) + 11 = 26
h(2) = 3
Como h(x) = ax² + bx + c
h(0) = -5
temos que c = -5
h(1) = -3
temos que a + b - 5 = -3
h(2) = 3
temos que 4a + 2b - 5 = 3
Conclusão:
|a + b = 2
|4a + b = 8
Ou seja:
a = 2
b = 0
h(x) = 2x² - 5
h(2) + h(3) = 3 + 13 = 16
Alternativa A