Questão 12547

ITA 1999

Matemática

(ITA - 1999) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8 m, 10 m e 12 m. O volume, em m³ , do sólido formado é:

Gabarito:

Resolução:

Pela figura, percebemos que as arestas do triângulo formado pela interseção do triedro com o plano são hipotenusas.

Logo, por Teorema de Pitágoras, chegamos às relações:

$left{egin{matrix} a^2 + b^2 = 8^2\ a^2+c^2 = 12^2 \ b^2+c^2 = 10^2 end{matrix} ight.$

Isolando a² e b² em função de c², temos:

$a^2 = 144-c^2$

$b^2=100-c^2$

$144-c^2+100-c^2 = 64$

$-2c^2=-180$

$c=sqrt{90}=3sqrt{10}$

Substituindo o valor de c na segunda e terceira equações e isolando a e b, encontramos:

$a=3sqrt{6}$

$b=sqrt{10}$

Agora que sabemos as arestas da pirâmide formada, basta calcularmos o volume, pela relação:

$V=frac{A_b*h}{3}$

Vamos considerar como base, por exemplo, o triângulo de hipotenusa 8 e lados a e b. Dessa forma, a altura será a aresta c.

$V=frac{1}{3}frac{a*b}{2}c$

$V=frac{1}{3}*frac{3sqrt{6}*sqrt{10}}{2}*3sqrt{10}$

$V=15sqrt{6}$

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