Questão 6202
ITA 1999
(Ita 1999) Sejam f, g, h: funções tais que a função composta h o g o f:
é a função identidade. Considere as afirmações:
I - A função h é sobrejetora.
II - Se ∈
é tal que
, então
, para todo x ∈
com
.
III - A equação tem solução em
.
Então:
Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
Todas as afirmações são verdadeiras.
Todas as afirmações são falsas.
Gabarito:
Todas as afirmações são verdadeiras.
Resolução:
Segue a solução abaixo:
I. Este item é correto, pois veja:
h(g(f(x))) = x ==> h(u) = x, ou seja, a imagem de h é igual ao contradomínio de h ( Im(h) = CD(h)), em que ambos são o conjunto dos números reais!
II. h(g(f)=(x))) = x ==> h o (g(f(x)) = x ==> g(f(x)) = h^(-1) (x), pois h é a função identidade. Logo, h e h^(-1) são bijetoras, e portanto sobrejetoras e injetoras. Dessa forma:
(g o f)(x) é bijetora também ==> (g o f) é sobrejetora e injetora.
Assim, (g o f)(a) = (g o f)(b) ==> a = b.
Seja x0 = a. Logo, f(a) = 0.
Suponha agora que f(b) = 0 com a diferente de b (tese).
(g o f)(a) = g(f(a)) = g(0) = g(f(b)) = (g o f)(b) ==> a = b, absurdo!
Portanto, a não pode ser diferente de b (tese errada!)! Dessa forma, a = b e então f é injetora! Logo, o item está correto.
III. Certo, uma vez que a imagem da função h é igual ao seu contradomínio! Logo, h(x)=0 tem solução em R.