Questão 5900
ITA 1999
(Ita 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de . Considere as afirmações:
I - Se , então
e
.
II - Se , então
.
III - Se , então
.
Então:
Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Todas as afirmações são verdadeiras.
Gabarito:
Todas as afirmações são verdadeiras.
Resolução:
Resolução 1:
I) Verdadeira, pois
II) Verdadeira, pois se , então
III) Verdadeira, pois se , então
Resolução 2:
Um produto cartesiano entre dois conjuntos A e B, é um conjunto de pares ordenados (x;y) onde x pertence a A e y pertence a B.
Desse modo, podemos analisar as afimarções:
I) Seja um par ordenado (x;y) de ExG, temos então que x pertence a E e y pertence a G, se o conjunto desses pares ordenados pertence a FxH, então x também pertence a F e y também pertence a H. Desse modo, todos os elementos de E devem pertencer a F e os de G devem pertencer a H.
Obs.: E também pode ser igual a F e G igual a H.
II) Como vimos na definição de produto cartesiano, ExG é um conjunto de pares ordenados e FxH é outro, então podemos chamar ExG de um conjunto Q e FxH de um conjunto P. Agora veja o diagrama de Venn:
Pelo diagrama de Venn é muito fácil de ver que a união de P e Q é o próprio P.
III) Essa afirmação é confirmada facilmente também pelo diagrama de Venn.
Então todas são verdadeiras!!
Qualquer dúvida ou sugestão, pessoal, comentem!!