Questão 32702

ITA 1999

Matemática

(ITA - 1999) Sejam $a_{k}, e, b_{k}$ números reais com $k=1,, 2,, 3,...,, 6$ . Os números complexos $z_{k}=a_{k}+ib_{k}$ são tais que $left | z_{k} ight |=2, e, b_{k}geq 0$ , para todo $k=1,, 2,, 3,...,, 6$ . Se $left(a_{1},, a_{2},...,, a_{6} ight )$ é uma progressão aritmética de razão $frac{-1}{5}$ e soma 9, então $z_{3}$ é igual a:

$frac{8}{5}+frac{6}{5} i$

$sqrt{3}+i$

$frac{-3sqrt{3}}{5}+frac{sqrt{73}}{5}i$

$frac{4sqrt{2}}{5}+frac{2sqrt{17}}{5}i$

Gabarito:

$frac{8}{5}+frac{6}{5} i$

Resolução:

Temos que $left(a_{1},, a_{2},...,, a_{6} ight )$ é uma progressão aritmética de razão $frac{-1}{5}$ e soma 9. Com isso, temos que:

Para calcular a soma da PA, temos que descobrir o valor de a₆ em relação a a₁.

$a_6 = a_1+5r$

$a_6 = a_1+5*frac{-1}{5}$

$a_6 = a_1-1$

Com isso, podemos usar o valor da soma da PA, para descobrir o valor de a₁:

$frac{(a_1+a_6)*6}{2}=9$

$frac{(a_1+a_1-1)*6}{2}=9$

$(2a_1-1)*3=9$

$2a_1-1=3$

$a_1=2$

Com isso, podemos descobrir o valor de a₃

$a_3 = a_1 + 2r$

$a_3 = frac{8}{5}$

Temos também que $z_{k}=a_{k}+ib_{k}$ , $left | z_{k} ight |=2$ e $b_{k}geq 0$ .

Para calcular $z_{3}$ devemos utilizar desses dados:

$a_3^2+b_3^2=2^2$

$(frac{8}{5})^2+b_3^2=4$

$b_3^2=4-frac{64}{25}$

$b_3^2=frac{36}{25}$

$b_3=frac{6}{5}$

Com isso, $z_{3}$ será

$frac{8}{5}+frac{6}{5} i$

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