Questão 6663

ITA 1999

Matemática

(ITA - 1999) Seja a ∈ IR com 0 < a < . A expressão é idêntica a:

$frac{sqrt{2}cdotcot^{2} a}{1 + cot^{2} a}$

$frac{sqrt{2}cdotcot a}{1 + cot^{2} a}$

$frac{sqrt{2}}{1 + cot^{2} a}$

$frac{1 + 3cdotcot a}{2}$

$frac{1 + 2cdotcot a}{1 + cot a}$

Gabarito:

$frac{sqrt{2}cdotcot^{2} a}{1 + cot^{2} a}$

Resolução:

$\ullet ; extrm{Prostaferese:}\\sin a+sin b=2cdot sin (frac{a+b}{2})cdot cos (frac{a-b}{2})$

$[sin (frac{3pi}{4}+a)+sin (frac{3pi}{4}-a)]cdot sin (frac{pi}{2}-a)=$

$=2cdot sin frac{3pi}{4}cdot cos acdot sin (frac{pi}{2}-a)$

$=2cdot sin frac{3pi}{4}cdot cos acdot cos (a)=2cdot frac{sqrt{2}}{2}cos ^2a=sqrt{2}cdot cos ^2a$

$\ extrm{Agora,;vamos;tentar;fazer;aparecer;a;função;cotangente:}\\cot a=frac{cos a}{sin a};;;;;;;; ightarrow ;;;;cot ^2a=frac{cos^2 a}{sin^2 a}=;;;;; ightarrow ;;;;;1+cot ^2a=1+frac{cos^2 a}{sin^2 a}$

$\\\ extrm{Pela;Relação;Fundamental;da;Trigonometria:}\\1+cot ^2a=frac{1}{sin ^2a}\\\frac{1}{1+cot^2a}=sin^2a;;;;;; ightarrow$

$\frac{cot^2a}{1+cot ^2a}=sin ^2acdot cot ^2a;;;;;;; ightarrow ;;;frac{cot^2a}{1+cot ^2a}=cos^2a$

Alternativa (a), portanto.

PS: testar as alternativas seria uma possibilidade também.

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