Questão 6787

ITA 1999

Matemática

(Ita 1999) Sejam x, y e z números reais com y ≠ 0. Considere a matriz inversível

$A = egin{bmatrix} x&1&1 \ y&0&0 \ z&-1&1 end{bmatrix}$

Então:

A soma dos termos da primeira linha de A^-1 é igual a x + 1.

A soma dos termos da primeira linha de A^-1 é igual a 0.

A soma dos termos da primeira coluna de A^-1 é igual a 1.

O produto dos termos da segunda linha de A^-1 é igual a y.

O produto dos termos da terceira coluna de A^-1 é igual a 1.

Gabarito:

A soma dos termos da primeira coluna de A^-1 é igual a 1.

Resolução:

$A cdot A^{-1}=egin{bmatrix} x & 1& 1\ y & 0 & 0\ z& -1 & 1 end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} a & b& c\ d & e & f\ g& h & i end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0& 0& 1 end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} ax+d+g & bx+e+f & cx+f+i\ ay & by & cy\ az-d+g & bz-e+h & cz-f+i end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0& 0& 1 end{bmatrix}$

Analisando a segunda linha:

$a=0$ , $c=0$ e $b=frac{1}{y}$

Reescrevendo a matriz com esses valores:

$egin{bmatrix} d+g & frac{x}{y}+e+f & f+i\ 0 & 1 & 0\ -d+g & frac{z}{y}-e+h & -f+i end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0& 0& 1 end{bmatrix}$

Analisando a terceira coluna e a primeira coluna:

$g=frac{1}{2}$ , $d=frac{1}{2}$ , $i=frac{1}{2}$ e $f=-frac{1}{2}$

Reescrevendo a matriz com esses valores:

$egin{bmatrix} 1 & frac{x}{y}+e-frac{1}{2} & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & frac{z}{y}-e+h & 1 end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0& 0& 1 end{bmatrix}$

Por último:

$e=frac{1}{2}-frac{x}{y}$ e $h=frac{1}{2}-frac{x+z}{y}$

Logo, a matriz inversa é:

$A^{-1}=egin{bmatrix}0 & frac{1}{y}& 0\ frac{1}{2}& frac{1}{2}-frac{x}{y}&-frac{1}{2} \ frac{1}{2}& frac{1}{2}-frac{x+z}{y} &frac{1}{2} end{bmatrix}$

A afirmativa correta é 'A soma dos termos da primeira coluna de A^-1 é igual a 1.'

Letra C.

Questões relacionadas

Questão 5900

(Ita 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de . Considere as afirmações: I - Se , então e . II - Se , então . III - Se , então . Então:

Ver questão

Questão 6201

(ITA - 1999) Considere as funções f e g definidas por , para x ≠ 0 e , para x ≠ -1. O conjunto de todas as soluções da inequação é:

Ver questão

Questão 6202

(Ita 1999) Sejam f, g, h: funções tais que a função composta h o g o f: é a função identidade. Considere as afirmações: I - A função h é sobrejetora. II - Se ∈ é tal que , então , para todo x ∈ ...

Ver questão

Questão 6516

(Ita 1999) Sejam an e bn números reais com n = 1, 2, ..., 6. Os números complexos zn = an + ibn são tais que = 2 e bn ≥ 0, para todo n = 1,2,...,6. Se (a1, a2,...,a6) é uma progressão aritmética d...

Ver questão