Questão 7489

ITA 1999

Matemática

(ITA - 1999) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares. O número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:

Gabarito:

Resolução:

1) Sendo V o número de vértices, A o número de aresta, F o número total de faces e T o número de faces triangulares do poliedro convexo, pode-se afirmar que F-T é o número de faces quadrangulares e assim, como (F-T), T e F estão em PA, nessa ordem, temos que:

1.1) $T=frac{(F-T)+F}{2} ightarrow 3T=2F ightarrow T=frac{2F}{3}$

1.2) $A=frac{3 cdot T}{2} + frac{4 cdot (F-T)}{2} ightarrow A=frac{4F-T}{2} ightarrow 2A=4F-frac{2F}{3} ightarrow F=frac{3A}{5}$

1.3) $V-A+F=2 ightarrow 10-A+frac{3A}{5}=2 ightarrow A=20$

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