Questão 7865

ITA 1999

Matemática

(Ita 1999) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:

Gabarito:

Resolução:

Tem-se, pela questão, que:

$h=sqrt{Rcdot g}$

$h^2=Rcdot g$

$(i)g=frac{h^2}{R}$

Tem-se, pelo triângulo retângulo formado que:

$h^2=g^2-R^2$

$h^2=frac{h^4}{R^2}-R^2$

$h^4-R^2cdot h^2-R^4=0$

Fazendo $h^2=x$ , podemos analisar a equação como uma equação do segundo grau e aplicar, Bháskara, daí vem...

$x^2-R^2cdot x-R^4=0$

$Delta =b^2-4ac$

$Delta =R^2-4cdot 1cdot (-R^2)$

$Delta =5cdot R^2$

$x =frac{-bpm sqrt{Delta }}{2a}$

$x=frac{R^2+sqrt{5}cdot R^2}{2}$

$x=frac{R^2}{2}cdot left ( 1+sqrt{5} ight )$

Só que $x=h^2$ , daí vem:

$h^2=frac{R^2}{2}cdot left ( 1+sqrt{5} ight )$

$h=sqrt{frac{R^2}{2}cdot left ( 1+sqrt{5} ight )}$

$h=Rcdot sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$

$frac{h}{R}= sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$

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