Questão 28

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 2ª fase - Questão 28) Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão que forneça h em função apenas de S e m.

Gabarito:

Resolução:

1) Área da base: $pi R^2$

Área lateral: $pi Rg$

Área total do cone: $S=pi Rg+pi R^2$

Razão entre as áreas: $m=frac{pi Rg}{pi R^2}=frac{g}{R}$ ⇒ $g=mR$

2) Teorema de Pitágoras:

$g^2=h^2+R^2$

$m^2R^2=h^2+R^2$

$h^2=R^2(m^2-1)$

$R^2=frac{h^2}{m^2-1}$

3) Substituindo em S:

$S=pi Rg+pi R^2$

$S=pi mR^2+pi R^2$

$S=pi R^2(m+1)$

$S=frac{pi h^2(m+1)}{(m^2-1)}$

$S=frac{pi h^2}{(m-1)}$

$h^2=frac{S(m-1)}{pi}$

$h=sqrt{frac{S(m-1)}{pi}}$

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