Questão 7528

ITA 2002

Matemática

(Ita 2002 - adaptada) Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: "Se a circunferência de centro C = (h, 0) e raio r intercepta a curva , x > 0, no ponto de forma que o segmento overline{AC} seja perpendicular à reta tangente à curva em A, então x = a é raiz dupla da equação em x que se obtém da intersecção da curva com a circunferência."

Usando este raciocínio, o coeficiente angular dessa reta tangente em A é:

Gabarito:

Resolução:

Vamos primeiramente analisar a referência ".... x = a é raiz dupla da equação em x que se obtém da intersecção da curva com a circunferência."

Equação da curva :

$y=sqrt xRightarrow x=y^2$ (I)

Equação da circunferência:

$(x-h)^2+y^2=r^2Rightarrow y^2=r^2-(x-h)^2$ (II)

Para realizar a intersecção entre as duas curva vamos substituir o y^2 de (I) em (II):

$x=r^2-(x-h)^2Rightarrow x=r^2-x^2+2xh-h^2Rightarrow x^2+(1-2h)x+h^2-r^2=0$ (III)

Note agora que chegamos à equação em x mencionada no enunciado. Então, perceba que é dito que x=a é raiz DUPLA dessa equação. Logo, o delta=0.

$Rightarrow (1-2h)^2-4(h^2-r^2)=0Rightarrow 1-4h+4r^2=0Rightarrow r=frac{sqrt{4h-1}}{2}$

Além disso, sabendo que o delta em (III) é 0 e que a sua raiz é $a$ temos uma relação entre a e h:

$a=frac{2h-1}{2}Rightarrow h=a+frac{1}{2}$ (IV)

A seguir, fazemos uma figura para o problema com base no enunciado.

Note que para definir o coeficiente angular de t basta definir o coeficiente de r, $m_r$ , e lembrar que:

$m_rcdot m_t=-1Rightarrow m_t=-frac{1}{m_r}$

Para definir $m_r$ :

$m_r=frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=frac{-sqrt a}{h-a}=frac{-sqrt a}{a+frac{1}{2}-a}=-2sqrt a\\ herefore m_t=frac{1}{2sqrt a}$

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