Questão 15

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006- 1a fase)

Seja o sistema lineares nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por

Considere as seguintes afirmações:

I. O sistema é possível e indeterminado se a=b=0.

II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos.

III.

Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas

III

I e II

II e III

Gabarito:

II e III

Resolução:

$large D = egin{vmatrix} a-b & -(a+b)\ a+b & a-b end{vmatrix} = 2a^2+2b^2$

$large D_x = egin{vmatrix} 1 & -(a+b)\ 1 & a-b end{vmatrix} = 2a$

$large D_y = egin{vmatrix} a-b & 1\ a+b & 1 end{vmatrix} = -2b$
I. O sistema é possível e indeterminado se a=b=0. FALSO

II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos. VERDADEIRA

III. x² + y² = (a² + b²)^-1, se a² + b² $\neq$ 0. VERDADEIRA

Justificativas

a) $large a^2+b^2 eq 0 ightarrow a eq0 ; ou ; b eq 0$

Nessa situação, $large D eq 0$ e o sistema e o sistema é possível e determinado.

$large x = frac{D_x}{D} = frac{a}{a^2+b^2}$

$large y = frac{D_y}{D} = frac{-b}{a^2+b^2}$

$large x^2+y^2=frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)^2}=(a^2+b^2)^{-1}$

b) $large a^2+b^2 = 0 ightarrow a =0 ; ou ; b= 0$

Substituindo-se a=0 e b=0 no sistema, tem-se

$large left{egin{matrix} 0=1\ 0=1 end{matrix} ight. Rightarrow Sistema ; impossível$

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