Questão 22

ITA 2006

Matemática

(ITA 2006 - 2 fase)

Seja $f :[0,1) ightarrow mathbb{R}$ definida por

$f (x) = egin{cases} 2x& 0 leq x < 1/2\ 2x - 1 & 1/2 leq x < 1 end{cases}$

Seja $g: (-1/2, 1/2) ightarrow mathbb{R}$ dada por

$g (x) = egin{cases} f(x + 1/2)& -1/2 < x < 0\ 1 - f(x + 1/2) & 0 leq x < 1/2 end{cases}$ ,

com $f$ definida acima.

Justificando sua resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, temos:

$\ f(x) = 2x, se 0 leq x leq frac{1}{2}$ e $\ f(x) = 2x-1, se frac{1}{2} leq x < 1$

Segundamente, temos:

$\ - frac{1}{2} < x < 0 \ \ 0 < x +frac{1}{2} < frac{1}{2} e 0 leq x < frac{1}{2}$

$frac{1}{2} leq x < 1$

Terceiramente, temos:

$\ g(x) = f(x+frac{1}{2}), se - frac{1}{2} < x < 0 e g(x) = 1 - f(x+frac{1}{2}), se 0 leq x < frac{1}{2}$

$\ g(x) = 2(x+frac{1}{2}), se - frac{1}{2}< x < 0 e g(x) = 1 - [2(x+frac{1}{2})-1], se 0 leq x < frac{1}{2}$

Temos:

$g(x) = 2x + 1, se - frac{1}{2} < x < 0 e g(x) = -2x+1 , se 0leq x < frac{1}{2}$

Portanto, temos que:

$g(-x) = g(x)$ , portanto, g é par.

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