Questão 23

ITA 2006

Matemática

(ITA 2006 - 2 fase)

Determine o coeficiente de x⁴no desenvolvimento de (1 + x + x²)⁹.

Gabarito:

Resolução:

$\ (1+x+x^{2})^{9} = [(1+x)+x^{2}]^{9} = inom{9}{0} . (1+x)^{9} . (x^{2})^{0} + inom{9}{1}. (1+x)^{8} (x^{2})^{1} + inom{9}{2}. (1+x)^{7}. (x^{2})^{2} + inom{9}{3}. (1+x)^{6} . (x^{2})^{3} + ... + inom{9}{9}. (1+x)^{0} . (x^{2})^{9}$

Vejamos que termos x elevado a 4 só ocorrerá nos primeiros termos:

Em:

$inom{9}{0} . (1+x)^{9}$ temos que $inom{9}{k_{1}} . (1^{9-k_ {1}}). x^{k_{1}} sendo k_{1} = 4$

Em:

$\ inom{9}{1} . (1+x)^{8}. x^{2} , temos \ \ 9[inom{8}{k_{2}}. 1^{8-k_{2}.x^{k_{2}}}] . x^{2} , com k_{2} +2 = 4 \ \ k_{2} = 2$

Em:

$\ inom{9}{2} . (1+x)^{7}. x^{4} , temos \ \ inom{9}{2} [inom{7}{k_{3}}. 1^{7-k_{3}.x^{k_{3}}}]x^{4} com \ \ k_{3} = 0$

Portanto, temos:

$\ inom{9}{k_{1}} + inom{9}{1}. inom{8}{k_{2}} + inom{9}{2}. inom{7}{k_{3}} = inom{9}{4}+ inom{9}{1} . inom{8}{2} + inom{9}{2}. inom{7}{0}$

126 + 9. 28+36 = 414

Portanto o coeficiente de x⁴ é 414.

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