Questão 25

ITA 2006

Matemática

(ITA 2006 - 2 fase)

Considere o polinômio $p(x) = x^3 + ax^2 + x + 1$ , com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira:

“Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais.”

Gabarito:

Resolução:

Temos que $alpha, eta e gamma$ são as raizes da equação e admitindo que $alpha$ é racional, então:

$Se eta - alpha = r_{1}$ pertence aos racionais, então $eta = r_{1} + alpha$ é racional e $gamma$ também é racional, porque $alpha - eta + gamma = -a$ sendo que eles são racionais.

$Se eta - gamma = r_{2}$ então é racional também e beta também, pois:

$alpha + eta + gamma = -a$ , o que é racional.

II) $Se eta - gamma = r_{3}$ e pertence ao racional, como $alpha + eta + gamma = -a$ petence também, então:

$eta - gamma = r_{3} \ \ eta + gamma = - alpha -a$

$\ eta = frac{r_{3} -alpha -a}{2} \ \ gamma = - (frac{r_{3}+alpha +a}{2})$ e ambas são racionais

Com isso se uma raiz de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais e a frase apresentada é verdadeira.

Questões relacionadas

Questão 2

(ITA - 2006 - 1a fase) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: ...

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2006 - 1a fase) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BA), n(AB) e n(A ∩ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de raz&at...

Ver questão

Questão 7

(ITA - 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita ll. S é a soma...

Ver questão

Questão 11

(ITA - 2006 - 1a fase) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear é:

Ver questão