Questão 28

ITA 2006

Matemática

(ITA 2006 - 2 fase)

Seja (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a₁ = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r.

Gabarito:

Resolução:

(a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ... é uma PG infinita de razão r, e temos que a1 = a. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, vamos determinar a + r:

$\ a_{2} + a_{4} +a_{6} + ... + = 4 \ \ a. r +a.r^{3} +a.r^{5} +... = 4$

$frac{a.r}{1-r^{2}}= 4 \ \ a.r = 4(1-r^{2})$ equação I

Em 2, temos que:

$a_{3} +a_{6} + a_{q} + ... = frac{16}{13}$

$a.r^{2} +a.r^{5} +a.r^{8} +...+ = frac{16}{13}$

$\ frac{a.r^{2}}{1-r^{3}} = frac{16}{13} \ \ a.r^{2} = frac{16}{13} (1-r^{3 })$ equação II

Dividindo membro a membro da equação II a I, temos:

$\ frac{a.r^{2}}{a.r} = frac{frac{16}{13}(1-r^{3})}{4.(1-r^{2})} \ \ r = frac{4}{13}. frac{(1+r+r^{2})}{(1+r)} \ \ 9r^{2} +9r -4 = 0 \ \ r = frac{1}{3}, pois r > 0$

Substituindo r = 1/3 na equação 1, temos:

$\ a. frac{1}{3}= 4. (1- frac{1}{9}) \ \ a = frac{32}{3} \ \ a + r = frac{32}{3} + frac{1}{3} = 11$

Questões relacionadas

Questão 2

(ITA - 2006 - 1a fase) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: ...

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2006 - 1a fase) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BA), n(AB) e n(A ∩ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de raz&at...

Ver questão

Questão 7

(ITA - 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita ll. S é a soma...

Ver questão

Questão 11

(ITA - 2006 - 1a fase) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear é:

Ver questão