Questão 13

ITA 2006

Matemática

(ITA - 2006 - 1a fase)

Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 - i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e - 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são

$frac{3}{2} - sqrt{frac{193}{6}},3,frac{3}{2} +sqrt{frac{193}{6}}$

Gabarito:

Resolução:

Se um polinômio p de grau 7 com coeficientes reais, admite (1-i) como raiz multiplicidade 2, então ele admite (1+i) como raiz de multiplicidade 2, portanto, temos:

$alpha - r , alpha , alpha + r$

$(1-i)+(1-i)+(1+i) +(1+i) + (alpha -r) +(alpha) + (alpha +r) = 10$

$(1-i)(1-i)(1+i)(1+i)(alpha -r)(alpha) (alpha +r) = - 40$

$alpha = 2$

$4(alpha ^{2} - r^{2})alpha = -40$

$r = pm 3$

Com isso as raízes reais são:

$-1, 2 e 5$

gabarito: E

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